Giải tích cấp 3

Trong toán học, một hàm số hay gọi ngắn là hàm (Tiếng Anh: function) là một loại ánh xạ giữa hai tập hợp số liên kết mọi phần tử của tập số đầu tiên với đúng một phần tử của tập số thứ hai. Ví dụ điển hình là các hàm từ số nguyên sang số nguyên hoặc từ số thực sang số thực.

• Hàm số bậc hai: \(y = ax^2 + bx + c \quad \)(\(a \neq \)0)
• Đồ thị hàm số bậc hai: Parabol
• Ứng dụng: Giải các bài toán thực tế như quỹ đạo chuyển động của vật thể, tối ưu hóa diện tích...

1. Giới hạn:
   • Giới hạn dãy số: Khi n tiến ra vô cùng (\(n \to \infty\)), giá trị của hàm số tiến đến một giá trị cụ thể nào đó. Ví dụ: \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\).
   
   • Giới hạn hàm số: Khi x tiến đến một giá trị cụ thể nào đó, giá trị của hàm số tiến đến một giá trị giới hạn. Ví dụ: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).
   
   • Hàm liên tục: Để đơn giản, hàm liên tục là hàm chỉ được biểu diễn bằng đúng 1 hàm số. Đây là điều kiện cần để một hàm số có đạo hàm
   
   
2. Đạo hàm:
   • Định nghĩa: Đạo hàm của một hàm số tại một điểm là giới hạn của tỉ số giữa sự thay đổi của giá trị hàm số và sự thay đổi của biến số khi biến số tiến đến điểm đó. Ký hiệu: \(f'(x)\) hoặc \(\frac{dy}{dx}\).
     \(f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)
   • Ý nghĩa: Đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm cụ thể. Nó cũng có thể được sử dụng để xác định điểm cực trị (cực đại và cực tiểu) của hàm số.
   
   • Quy tắc tính đạo hàm: Đạo hàm \(f'(x_0)\) chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_0\) Phương trình tiếp tuyến: \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\)

1. Ứng dụng của đạo hàm:
   • Tính đơn điệu: Dùng dấu của \(f'(x)\) để biết hàm số đồng biến hay nghịch biến.
   • Tính đơn điệu: Tìm các điểm "đỉnh" và "đáy" của đồ thị qua việc xét dấu \(f'(x)\) đổi chiều.
   • Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN): Tìm "vua" và "tốt" trên một đoạn \([a; b]\).
2. Nguyên hàm, tích phân:
   • Nguyên hàm: Là hàm số có đạo hàm bằng hàm số cho trước: hay tìm hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\). Kí hiệu: \(\int F(x) dx = f(x) + C\)
   • Tích phân: Là phép toán ngược của đạo hàm, dùng để tính diện tích dưới đường cong của một hàm số. Điều này được thể hiện qua định lý Newton-Leibniz. Kí hiệu: \(\int_a^b F(x) dx = f(b) - f(a)\)
   
   • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay...