Tích phân bất định

Định nghĩa: Hàm số \(F(x)\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên một khoảng D nếu:

\(F'(x) = f(x)\) \(\forall x \in D\).

VD:
• \(\frac{x^3}{3}\) là một nguyên hàm của \(x^2\) trên \(\mathbb{R}\).
• \(sinx\) là một nguyên hàm của \(cosx\) trên \(\mathbb{R}\).
• \(arcsinx\) là một nguyên hàm của \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) trên \((-1, 1)\).

Định lý: Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng D thì:

• Hàm số \(F(x) + C\) (với \(C\) là hằng số bất kỳ) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên D.
• Mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng D đều được biểu diễn dưới dạng: \(F(x) + C\) với C là một hằng số.

Định nghĩa: Trong định lý trên, biểu thức \(F(x) + C\) được gọi là biểu thức tích phân bất định của \(f(x)\) trên khoảng D.

\(\int f(x) dx = F(x) + C\)

VD:
• \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C\)
• \(\int cosx dx = sinx + C\)
• \(\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = arcsinx + C\)

Các tính chất cơ bản của tích phân bất định:

Các công thức tích phân cơ bản:

1. Phương pháp khai triển

Sử dụng các phép biến đổi đồng nhất kết hợp với các tính chất của tích phân để đưa tích phân cần tính về dạng tổ hợp của các tích phân cơ bản.

2. Phương pháp đổi biến

Đối với tích phân \(I = \int f(x) dx\), ta có thể đặt x = \(\phi (t)\) là hàm đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên (a; b). Khi đó:

Đối với tích phân I = \(\int f[\phi(x)] \phi'(x) dx\), ta đặt t = \(\phi(x)\). Khi đó:

3. Tích phân từng phần

\(\int u dv = uv - \int v du\)

Trong đó \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm liên tục