Tích phân xác định

Bài toán:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục và không âm trên [a, b]. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Phân tích tình huống:

• Chia nhỏ [a, b] thành n đoạn nhỏ như hình vẽ.
• Diện tích hình thang cong nhỏ \(CX_{k}X_{k+1}\) là: \(S_k \approx f(\xi _k) \Delta X_k\) với \(\xi_k\) là điểm bất kỳ giữa \(X_k\) và \(x_{k + 1}\) và \(\Delta X_k = X_{k+1} - X_k\).
• Diện tích hình thang cong AabB được xấp xỉ bởi tổng: \(A \approx \sum_{k=1}^{n} S_k = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x_k\).

Cho hàm số \(y = f(x)\) bất kỳ xác định trên [a; b].

• Thực hiện chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ bất kỳ bởi các điểm chia:
\(a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b\)

Sao cho độ dài mỗi đoạn \([x_k; x_{k+1}]\) không vượt quá \(\Delta x\).

• Trên mỗi đoạn \([x_k; x_{k+1}]\), chọn một điểm \(\xi_k\) bất kỳ và lập tổng (tổng tích phân).
\(S_n = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x_k\)

Định nghĩa

: Với mọi cách chia đoạn [a; b] và cách chọn điểm \(\xi_k\) nếu giới hạn sau tồn tại hữu hạn:

thì hàm \(f(x)\) được gọi là khả tích trên đoạn [a; b] và số I được gọi là tích phân xác định của hàm số \(f(x)\) trên đoạn [a; b].

\(I = \int_{a}^{b} f(x) dx\)

a, b được gọi là các cận của tích phân. Cụ thể a là cận dưới, b là cận trên.

Chú ý: Tích phân xác định của hàm số \(f(x)\) trên [a;b] (nếu có) là một số và nó không phụ thuộc vào tên biến dưới dấu tích phân.

\(\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(u) du\)

Ý nghĩa hình học:

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên [a, b] và \(f(x) \geq 0\) với mọi \(x \in [a, b]\). Hình phẳng giới hạn bởi trục hoành Ox, các đường thẳng x = a, x = b và đồ thị hàm số \(y = f(x)\) được gọi là hình thang cong.

Tích phân xác định của hàm \(f(x)\) trên [a, b] bằng diện tích của hình thang cong đó (phần gạch chéo).

Điều kiện cần:

Hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a; b] thì \(f(x)\) bị chặn trên đoạn [a; b].

Điều kiện đủ:

(x) xác định trên đoạn [a; b] khả tích trên đoạn đó nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:

1. \(f(x)\) liên tục trên đoạn [a; b];
2. \(f(x)\) đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a; b];
3. \(f(x)\) bị chăn và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn trên [a; b]

Với giả thiết các tích phân tồn tại, ta có:

Định nghĩa:

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên [a; b] và hàm số \(x = \phi(t)\) xác định trên [\(\alpha\); \(\beta\)] sao cho \(\phi(\alpha) = a\), \(\phi(\beta) = b\) và \(\phi(t)\) liên tục trên [\(\alpha\); \(\beta\)]. Khi đó:

\(\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t)) \phi'(t) dt\)

VD: