Toán cao cấp

1. Cực trị của hàm số: Nên dùng định nghĩa sau:

   Định nghĩa 1.1. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \((a, b)\), ta nói hàm số đạt cực trị tại điểm \(x_0 \in (a, b)\) nếu tồn tại một khoảng \((x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b)\) sao cho \(f(x) - f(x_0)\) không đổi dấu \(\forall x \in U(x_0) \setminus \{x_0\} \).

   • Nếu \(f(x) - f(x_0) < 0\) thì \(f\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
   • Nếu \(f(x) - f(x_0) > 0\) thì \(f\) đạt cực đại tại \(x_0\).
2. Định lý Format (có chứng minh)

   Định lý 1.9. Cho \(f(x)\) liên tục trên khoảng \((a, b)\), nếu hàm số đạt cực trị tại điểm \(x_0 \in (a, b)\) và có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0) = 0\)

   Có chứng minh và mô tả hình học, chú ý giả thiết liên tục ở đây là do định nghĩa cực trị.

3. Định lý Rolle:
4. Định lý Lagrange:
5. Định lý Cauchy:

   Chú ý:

   • Định lý Rolle là trường hợp riêng của định lý Lagrange, định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lý Cauchy. Các giả thiết trong các định lý này là cần thiết.
   • Nêu dạng khác của định lý Lagrange: \(\delta f = f'(x_0 + \theta \delta x), \theta \in (0, 1)\)

Định lý 1.10. Cho \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục trên khoảng \((a, b)\) và có đạo hàm trên \((a, b)\setminus\{x_0\}\), nếu \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0\) hoặc \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty\), đồng thời tồn tại giới hạn \(\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) thì \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)